البرمجة الخطية وتقليل التكلفة وتعظيم الربح

 

البرمجة الخطية

1.              البرمجة الخطية هي أسلوب يستخدم لرفع وظيفة الإيراد أو الربح, أو تقليل وظيفة التكلفة, و الخاضعة للقيود, مثلا, الموارد المحدودة (النادرة), أو مستويات الحد الأدنى/ الأقصى للإنتاج , و الأداء, و هكذا. و في العمل, تستخدم البرمجة الخطية لتخطيط تخصيص الموارد. و غالبا تواجه المديرين مشكلات اختيار أكثر طريقة مربحة أو أقل طريقة مكلفة لاستخدام الموارد المتاحة. و ميزة البرمجة الخطية هي قابلية تطبيقها على عدة أنواع من المشكلات, و فائدتها في تحليل الحساسية. و هناك عيبا رئيسيا هو تقيد افتراضاتها الخطية, على سبيل المثال, بأن كل التكاليف تعتبر متغيرة أو ثابتة.

         ‌أ-        مثال: يجب أن يقلل الصانع (شركة التصنيع) تكاليف الإنتاج بينما يفي بحاجات الإنتاج, و يحافظ على مستويات المخزون المطلوبة, و البقاء في حدود قدرات الإنتاج, و استخدام الموظفين المتاحين. و الوظيفة المستهدفة هي تقليل تكلفة الإنتاج؛ فتكون القيود هي متطلبات الإنتاج, و مستويات المخزون, و القدرة الإنتاجية, و الموظفين المتاحين.

      ‌ب-     تشمل تطبيقات العمل الأخرى

1) اختيار مزيج للمنتج

2) خلط المنتجات الكيماوية

3) تحديد جدول أطقم الرحلات الجوية

4) تحديد وظائف للآلات

5) تحديد طرق النقل

       ‌ج-      الظروف التي تقيد أفضل قيمة للوظيفة المستهدفة هي القيود

1)     سعر الظل هو القيمة التي بها ستتغير قيمة الحل الأفضل للوظيفة المستهدفة في مسألة البرمجة الخطية, و

ذلك إذا حدث تغير لوحدة واحدة في قيد ملزم.

أ‌)      القيد غير الملزم هو القيد الذي له له قدرة زائدة , أي أن الحل الأفضل لا يستخدم كل الموارد المتاحة. و سعر الظل للقيد غير الملزم هو صفر لأن تغير وحدة واحدة لن يؤثر على الحل الأفضل عندما تظهر القدرة الزائدة.

ب‌)    إن العملية الحسابية لأسعار الظل تعتبر مثالا بسيطا على تحليل الحساسية, و التي تعتبر أي إجراءات لاختبار مدى استجابة الحل الموضح بنموذج للتغيرات في المتغيرات, أو القرارات, أو الأخطاء

ـــــــ

الأشياء المجهولة المستخدمة لتكوين الوظيفة المستهدفة و القيود هي متغيرات القرار. و قيم المتغيرات

محدودة بواسطة القيود.

هـ.   القيم الثابتة لأغراض حل النموذج (و لكنها ليست ثابتة للأبد) تعتبر معاملات تكلفة/ ربح للوظيفة المستهدفة, و معاملات فنية للقيود, و الثوابت الموجودة على الجانب الأيمن للقيود.

و.      عندما يتساوى عدد معادلات القيود مع عدد المتغيرات, فإنه يظهر حل فريد. أما عندما يتعدى عدد المتغيرات عدد معادلات القيود, فإن عدد الحلول الممكنة يكون عادة لانهائي.

1) قيم المتغيرات هي مخرجات عملية البرمجة الخطية.

2) عادة تعكس معادلات القيود أنواع المدخلات أو أنواع الموارد التي يتم تخصيصها , مثلا, ساعات الآلة أو المواد الخام المتاحة.

3) إن الهدف من البرمجة الخطية هو اختيار أفضل حل من عدد لا نهائي من الاحتمالات.

 

جـ. طريقة التبسيط هي الأسلوب الأكثر استخداما لحل مسائل البرمجة الخطية. و هي عملية حسابية (algorithm) للانتقال من الحل في ركن واحد إلى الحل في ركن أفضل. و عندما لا يمكن إيجاد حل أفضل, فإنه قد تم الوصول إلى حل أفضل.

1) تعتمد طريقة التبسيط على مجال الرياضيات الذي يسمى جبر المصفوفة. و المعادلات التي تكون القيود يتم ترتيبها في مصفوفة من المعاملات و يتم التعامل معها كمجموعة عن طريق جبر المصفوفة.

2) تقريبا تتطلب كل التطبيقات العملية للبرمجة الخطية استخدام الحاسبات الآلية. و معظم تجهيزات الحاسب الآلي بها مجموعة للبرمجة الخطية تستخدم العملية الحسابية التبسيطية لإيجاد الحل الأفضل.

 

2) يجب أن تختار الشركة أن تنتج في النقطة B (10 من المنتج G و 3.333 من المنتج J). و يفترض هذا الحل أن الوحدات الجزئية لـ J يمكن إنتاجها. و إذا تم إنتاج المنتج J بوحدات فردية, فإن الإجابة يمكن تفسيرها على أنها الإنتاج بمعدل 3'/3 في فترة معينة.

. لوغاريتم سمبلكس

أ.       لوغاريتم سمبلكس هي طريقة نظامية لاختبار الأركان (و تسمى أيضا الرؤوس أو النقاط الطرفية) للمنطقة المحتملة أثناء البحث عن الحل الأفضل. و تتحرك العملية الحسابية دائما في اتجاه تحسين الحل و تنتهي عند الحل الأفضل.

ب.     تستمر العملية الحسابية في العديد من الدورات.

1) تبحث الدورة الأولى عن ركن ابتدائي. و إذا لم يوجد أي ركن, فإن المسألة تكون غير متطابقة, و تنتهي العملية الحسابية.

2) تولد الدورة الثانية مجموعة من الأركان مجاورة للركن الابتدائي (الذي تم إيجاده في الدورة الأولى). و لن تصبح الوظيفة المستهدفة أقل في الأفضلية و ستصبح عادة أفضل في كل ركن تالي.

3) تنتهي العملية الحسابية بعد الوصول لأفضل ركن.

جـ.   مثال: (مأخوذ من سؤال في امتحان CPA) : تقوم شركة واينرووت Wineroot بتصنيع نوعين من مقاعد الحدائق, كبير و صغير. و تتم معالجة كل نموذج كما يلي:تصنيع تلميع صغير

 (X) ساعتان 3 ساعاتكبير

(Y)   4  ساعات 3 ساعات

الوقت المتاح لمعالجة النموذجين هو 100 ساعة في الأسبوع في قسم التصنيع و 90 ساعة في الأسبوع في قسم التلميع. و هامش الإسهام المتوقع هو 5 دولار و 7 دولار بالنسبة لـ Y.

 

1)               بعد تحويل معادلات القيود لقيم متساوية, يبدأ تكوين الشكل بصف المتغيرات, و الذي يتكون أولا من متغيرات القيد (X و Y) ثم المتغيرات المعتدلة (S1 و S2). و هو بالضرورة صف به تعريفات (وصف).

2)              يدرج صف Cj. معاملات دفع المرتبات لمسألة زيادة الربح (أو معاملات التكلفة في مسألة تقليل التكلفة) التي تأتي من معاملات الوظيفة المستهدفة.

أ) المتغيرات المعتدلة لها معاملات دفع رواتب/ تكلفة قدرها صفر.
ب) و بالتالي, فإنه في تكوين الشكل, فإن الصف C يتكون من المعاملات التي أتت من الوظيفة المستهدفة

 (5X + 7Y + 0S1 + 0S2).

جـ) إن صف Cj هو 5, 7, 0, 0.

3)              يتم تكوين صفي القيد التصنيعي و التلميعي في الشكل التبسيطي من القيم المتساوية للقيد, و التي كانت

 Y + 1S1 + 0S2 = 1004+2X

X + l3Y+ 0S1+1S2 = 903

أ) باستخدام هذه المعاملات, فإن صفوف القيود (صفوف عوامل الموارد) تكون
2 4 1 0 100
3 3 0 1 90
ب) يجب أن تتساوى صفوف عوامل الموارد في الشكل مع القيود.

4)              يوجد العديد من المتغيرات الأساسية بنفس عدد القيود.

أ) تظهر المتغيرات الأساسية في الشكل الحالي كحل ممكن (ليس بالضرورة هو أفضل حل)

ب) في هذا المثال, تكون مجموعات الحلول الأساسية الابتدائية S1 تساوي 100, و S2 تساوي 90.

جـ) المتغيرات غير الأساسية هي المتغيرات التي تساوي صفر في الحل الحالي , مثلا X و Y.

5)              المتغيرات الأساسية هي المتغيرات التي تكون مصفوفة للهوية. و تتكون أعمدة المتغيرات المناظرة لها من أصفار و قيم فردية قدرها 1. و أعمدة المتغيرات هي الأعمدة الموجودة تحت كل متغير , أي تحت X و Y و S1 و S2.

أ‌)      في نموذج الشكل S1 بها 1, و 0 في عمودها, و S2 بها 0, و 1. و بالتتابع يكونان مصفوفة هوية.

ب‌)    في هذا الشكل, تعتبر المتغيرات الأساسية هي أيضا المتغيرات المعتدلة.

i)     و لكن ليس من الضرورة أن يكونوا بجوار بعضهم البعض في المسائل الأخرى

6)              القيم للمتغيرات الاساسية تعطى فى عمود جانب اليد اليمنى RHS من الجدول

أ)      لان دخول رقم 1 على S المصفوفة متغير فى الصف الاول لهوية المصفوفة ان قيمة ى تعطى للصف الاول للعمود RHS كرقم 100.

ب)  ان دخول 1 لـ S يتم فى الصف الثانى وقيمته يتم عليها فى الصف الثانى اسفل اسفل RHS والذى سيكون 90.

ج) ان القيم 100، 90 تاتى من جانب الجهة اليمنى من معادلات القيد وهكذا فان قيم RHS تعتبر ايضا كميات الموارد المتاحة

7)              ان العمود CB يتضمن الدفع التكلفة المعاملات المتغيرات الاساسية فى تحقيق اعلى حد للربح والحد الادنى للتكاليف المشاكل المرتبطة بهم.

أ)      لذلك فان العمود يتضمن على العديد من الارقام بقدر قيمهم للمتغيرات الاساسية وبعض اخر ... اثنان لهذا الجدول

ب)    الارقام التى تم ادخالها فى الجدول تعتبر بالمثل للمتغيرات الاساسية الموجودة فى الصف CJ ، صفر ، صفر

ج)     ان ZJ، ZJ – CJ لا يعتبروا جزء من العمود CB

10)   ان الحل الحالى (ولكن ليس المثالى) كل هذه المشكلة البسيطة يكتسب عن طريق مضاعفة العمود CB بالضرب فى مضروب فى العمود RHS واضافة المنتجات

أ) ان النتيجة توجد فى اقصى العمود الايمن RHS فى الصف ZJ والتى هى هنا ، صفر ، 0

ب) ان الحل الحالى ليس دائما يعادل 0 صفر ولوانه يعمل فى هذه الحالة لان 0 = CB

هـ  ان ما يلى هو عبارة عن حل تخطيطى للمشكلة السابقة:- هناك رقم هنا فى الصفحة 170

1) اعطى الدالة الموضوعية لـ (0F) 5 x + 7 y وتنتج النقاط الزائدة (المتطرفة) المنطقة العملية القيم التالية:-

		of	At point
0	=		(0,0)
175	=	(0 x 5) + (25 x 7)	(0, 25)
150	=	(30 x 5) + (0 x 7)	(30, 0)
190	=	(10 x 5) + (20 x 7)	(10, 20)

و. بمجموعة برامج الكمبيوتر قد ظورت لمعالجة مشاكل البرمجة الخطية بالقيود العديدة مع تعريف النظرية الاساسية ونتائجها غالبا ما تطون كافية لمحاسب الادارة

6.  نموذج النقل:-

أ. ان نموذج النقل يعتبر نوع خاص من مشكلة LP فهو يتضمن حركة طبيعية نقل للسلع من مصادر التمويل الامداد مثل المصانع الى اتجاهات مثل المخازن.

1) على سبيل المثال:- اسطول الشاحنات ريما يكون متوفر للتسليم اليومى فى معينة الشاحنات والاتجاهات و القيود على جميع التسليمات بالشاحنات المتاحة ولكن المدير ربما يفضل ان يحصل على مجموعة التكاليف الدنية فى الواقع على المدين ان يخصص الشاحنات المتاحة (المصادر النادرة) الى الاتجاهات المطلوبة بطريقة تؤدى الى تخفيض التكاليف.

 

 ب. ان الدالة الضوئية تتضمن تكلفة النقل لكل عنصر من كل مصدر الى كل اتجاه

1) ان القيود عبارة عن المخرجات لكل نقطة تجهيز اعداد والمطلوب لكل اتجاه

2) على سبيل المثال:- منتج لديه اربع نباتات افتراض ان كل نبات يمكن ان تشحن المنتجات الى اى من 20 مخزن وكل نبات لديه قدرة قصوى وكل مخزون لديه حد ادنى للطلب والادارة تود ان تعرف كم يجب ان يتم شحنه من كل نبات الى كل مخزن ولكى يقلل من تكاليف النقل.

3)   لصياغة نموذج برمجة خطية عام فان الكميات التى يجب شحنها من كل نبات الى كل مخزن يجب ان يتم تقيمها كمتغير منفصل ان النتيجة ستكون عبارة عن 80 متغير 4 نباتات × 20 مخزن كل مقدرة للنبات وكل مطلب للمخزن يتم تقنية باعطاء قيود لـ 24 فى قيود للبنات 120 قيد للمخازن

 

د. طريقة فوجيل التقريبية او طريقة العقاب وهى تقوم بحل مشاكل النقل بسهولة ان الاسم ياتى من الكمية الاضافية اللازم دفعها (العقوبة اذا كان بديل التكلفة الاقل لم يتم اختياره فى كل صف وكل عمود.

1) مثال:- افترض ان الشركة (شركة) لديها موضوعات وتقوم بانتاج 18 ، 14 من وحدات المنتج على التوالى اثناء فترة زمنية ثلاث فى ان توزيع تطلب 7، 10، 15 وحدات على التوالى اثناء نفس الفترة ان الجدول باسفل يوضع هذه المعلومات سوية مع تكاليف الشحن لكل وحدة ومثال على ذلك. 4$ لشحن وحدة من المصنع رقم 1 المخزن C ان الهدف هو تقليل اجمالى تكاليف الشحن ان العقوبات (بالدولار) يتم توضيحها فى علامات الحصة فى يمين واسفل الجدول.

ج) العمودA يشترك فى العقوبة الاعلى , تملأ صندوق تكلفتها الاقل الى اقصى حد ممكن بمعنى اخر:- خصص 14 وحدة للصندوق 2a ان الصف 2 اجمالى التمويل هو 14 وهكذا يحدد عدد الوحدات التى يمكن تخصيصها للصندوق 2a ان هذه المهمة للـ 14 وحدة تعادل قيود الصف 2 اذن فان الصف 2 قد تم شطبه او لم يعد من الضرورى اخذه فى الاعتبار

د)  ان الوحدات النهائية يتم اذن تخصيصها للصف 1 والاعمدة a، b كما هو موضح فى الجدول التالى

 

7.  برمجة الهدف

أ. ان برمجة الهدف قدمت فى البداية كاسلوب متخصص للبرمجة الخطية كل المشاكل التى ما كان لديها حل عملى تحت البرمجة الخطية المنظمة المعتادة المصروفة

ب. تسمح برمجة الهدف فان النظرية لديها الامكانية لحل المشاكل لكل من الاهداف المالية وغير المالية

8. برمجة العدد الصحيح

أ. ان برمجة العدد الصحيح ip تهتم بالمشاكل لبعض المتغيرات الغي مستمرة البرمجة الخطية من الناحية الاخرى افترض ان المتغيرات مستمرة وكل الوظائف خطية بمعنى اخر خطط بالخطوط المستقيمة المتغيرات هكذا اسمحت باخذ القيم الجزئية 10.0، 9.9.367 كل القيم الممكنة فى برمجة العدد الصحيح فان الكسور ليست ممكنة.

9. البرمجة الدينامكية:- تعتبر مدخل نظرة لحل المشاكل وليست لوغاريتمات معينة فهو يقسم نموذج رياضى كبير الى قطع صغير وسهلة الادارة ومثل هذه الطريقة تؤدى الى حيث ان المشاكل الصغيرة قد تم حلها اذن النتيجة ستكون الحل المثالى لنموذج الكلى

أ. ان هذا النوع من النموذج مفيد للمشاكل التى تتضمن القرارات المتعددة المداخل وتلك عبارة عن القرارات التى تاثرت بالقرارات السابقة

1) نموذجيا فهم يقدمون الى مشاكل اصغر بكثير من lp من ناحية عدد المتغيرات والقيود